機器學習者都應該知道的五種損失函數(shù)！
2018-06-23 來源：
雖然損失函數(shù)可以讓我們看到模型的優(yōu)劣，并且為我們提供了優(yōu)化的方向，但是我們必須知道沒有任何一種損失函數(shù)適用于所有的模型。損失函數(shù)的選取依賴于參數(shù)的數(shù)量、異常值、機器學習算法、梯度下降的效率、導數(shù)求取的難易和預測的置信度等若干方面。這篇文章將介紹各種不同的損失函數(shù)，并幫助我們理解每種損失函數(shù)的優(yōu)劣和適用范圍。
由于機器學習的任務不同，損失函數(shù)一般分為分類和回歸兩類，回歸會預測給出一個數(shù)值結(jié)果而分類則會給出一個標簽。這篇文章主要集中于回歸損失函數(shù)的分析。本文中所有的代碼和圖片都可以在這個地方找到!
回歸函數(shù)預測數(shù)量，分類函數(shù)預測標簽
回歸損失函數(shù)
1.均方誤差、平方損失——L2損失：
均方誤差(MSE)是回歸損失函數(shù)中最常用的誤差，它是預測值與目標值之間差值的平方和，其公式如下所示：
下圖是均方根誤差值的曲線分布，其中最小值為預測值為目標值的位置。我們可以看到隨著誤差的增加損失函數(shù)增加的更為迅猛。
MSE損失(Y軸)與預測(X軸)的關(guān)系圖
2.平均絕對誤差——L1損失函數(shù)：
平均絕對誤差(MAE)是另一種常用的回歸損失函數(shù)，它是目標值與預測值之差絕對值的和，表示了預測值的平均誤差幅度，而不需要考慮誤差的方向(注：平均偏差誤差MBE則是考慮的方向的誤差，是殘差的和)，范圍是0到∞，其公式如下所示：
MAE損失(Y軸)與預測(X軸)的關(guān)系圖
平均絕對誤差和均方誤差(L1&L2)比較：
通常來說，利用均方差更容易求解，但平方絕對誤差則對于異常值更穩(wěn)健，下面讓我們對這兩種損失函數(shù)進行具體的分析。
無論哪一種機器學習模型，目標都是找到能使目標函數(shù)最小的點。在最小值處每一種損失函數(shù)都會得到最小值。但哪種是更好的指標呢?你可以上述筆記本地址自行運行代碼，檢查它們的各項指標。
讓我們用具體例子看一下，下圖是均方根誤差和平均絕對誤差的比較(其中均方根誤差的目的是與平均絕對誤差在量級上統(tǒng)一):
左邊的圖中預測值與目標值很接近，誤差與方差都很小，而右邊的圖中由于異常值的存在使得誤差變得很大。
由于均方誤差(MSE)在誤差較大點時的損失遠大于平均絕對誤差(MAE)，它會給異常值賦予更大的權(quán)重，模型會全力減小異常值造成的誤差，從而使得模型的整體表現(xiàn)下降。
所以當訓練數(shù)據(jù)中含有較多的異常值時，平均絕對誤差(MAE)更為有效。當我們對所有觀測值進行處理時，如果利用MSE進行優(yōu)化則我們會得到所有觀測的均值，而使用MAE則能得到所有觀測的中值。與均值相比，中值對于異常值的魯棒性更好，這就意味著平均絕對誤差對于異常值有著比均方誤差更好的魯棒性。
但MAE也存在一個問題，特別是對于神經(jīng)網(wǎng)絡來說，它的梯度在極值點處會有很大的躍變，及時很小的損失值也會長生很大的誤差，這很不利于學習過程。為了解決這個問題，需要在解決極值點的過程中動態(tài)減小學習率。MSE在極值點卻有著良好的特性，及時在固定學習率下也能收斂。MSE的梯度隨著損失函數(shù)的減小而減小，這一特性使得它在最后的訓練過程中能得到更精確的結(jié)果(如下圖)。
在實際訓練過程中，如果異常值對于實際業(yè)務十分重要需要進行檢測，MSE是更好的選擇，而如果在異常值極有可能是壞點的情況下MAE則會帶來更好的結(jié)果。
總結(jié)：L1損失對于異常值更魯棒，但它的導數(shù)不連續(xù)使得尋找最優(yōu)解的過程低效;L2損失對于異常值敏感，但在優(yōu)化過程中更為穩(wěn)定和準確。更詳細的L1和L2不同比較可以參考這篇文章。
但現(xiàn)實中還存在兩種損失都很難處理的問題。例如某個任務中90%的數(shù)據(jù)都符合目標值——150，而其余的10%數(shù)據(jù)取值則在0-30之間。那么利用MAE優(yōu)化的模型將會得到150的預測值而忽略的剩下的10%(傾向于中值);而對于MSE來說由于異常值會帶來很大的損失，將使得模型傾向于在0-30的方向取值。這兩種結(jié)果在實際的業(yè)務場景中都是我們不希望看到的。
3.Huber損失——平滑平均絕對誤差
Huber損失相比于平方損失來說對于異常值不敏感，但它同樣保持了可微的特性。它基于絕對誤差但在誤差很小的時候變成了平方誤差。我們可以使用超參數(shù)δ來調(diào)節(jié)這一誤差的閾值。當δ趨向于0時它就退化成了MAE，而當δ趨向于無窮時則退化為了MSE，其表達式如下，是一個連續(xù)可微的分段函數(shù)：
對于Huber損失來說，δ的選擇十分重要，它決定了模型處理異常值的行為。當殘差大于δ時使用L1損失，很小時則使用更為合適的L2損失來進行優(yōu)化。
Huber損失函數(shù)克服了MAE和MSE的缺點，不僅可以保持損失函數(shù)具有連續(xù)的導數(shù)，同時可以利用MSE梯度隨誤差減小的特性來得到更精確的最小值，也對異常值具有更好的魯棒性。
而Huber損失函數(shù)的良好表現(xiàn)得益于精心訓練的超參數(shù)δ。
4.Log-Cosh損失函數(shù)
Log-Cosh損失函數(shù)是一種比L2更為平滑的損失函數(shù)，利用雙曲余弦來計算預測誤差：
它的優(yōu)點在于對于很小的誤差來說log(cosh(x))與(x**2)/2很相近，而對于很大的誤差則與abs(x)-log2很相近。這意味著log cosh損失函數(shù)可以在擁有MSE優(yōu)點的同時也不會受到異常值的太多影響。它擁有Huber的所有優(yōu)點，并且在每一個點都是二次可導的。二次可導在很多機器學習模型中是十分必要的，例如使用牛頓法的XGBoost優(yōu)化模型(Hessian矩陣)。
XgBoost中使用的目標函數(shù)，注意對一階和二階導數(shù)的依賴性
但是Log-cosh損失并不是完美無缺的，它還是會在很大誤差的情況下梯度和hessian變成了常數(shù)。
Huber和Log-cosh損失函數(shù)的Python代碼：
5.分位數(shù)損失(Quantile Loss)
在大多數(shù)真實世界的預測問題中，我們常常希望看到我們預測結(jié)果的不確定性。通過預測出一個取值區(qū)間而不是一個個具體的取值點對于具體業(yè)務流程中的決策至關(guān)重要。
分位數(shù)損失函數(shù)在我們需要預測結(jié)果的取值區(qū)間時是一個特別有用的工具。通常情況下我們利用最小二乘回歸來預測取值區(qū)間主要基于這樣的假設：取值殘差的方差是常數(shù)。但很多時候?qū)τ诰�性模型是不滿足的。這時候就需要分位數(shù)損失函數(shù)和分位數(shù)回歸來拯救回歸模型了。它對于預測的區(qū)間十分敏感，即使在非均勻分布的殘差下也能保持良好的性能。下面讓我們用兩個例子看看分位數(shù)損失在異方差數(shù)據(jù)下的回歸表現(xiàn)。
左：線性關(guān)系b / w X1和Y.具有恒定的殘差方差。右：線性關(guān)系b / w X2和Y，但Y的方差隨著X2增加。
上圖是兩種不同的數(shù)據(jù)分布，其中左圖是殘差的方差為常數(shù)的情況，而右圖則是殘差的方差變化的情況。我們利用正常的最小二乘對上述兩種情況進行了估計，其中橙色線為建模的結(jié)果。但是我們卻無法得到取值的區(qū)間范圍，這時候就需要分位數(shù)損失函數(shù)來提供。
上圖中上下兩條虛線基于0.05和0.95的分位數(shù)損失得到的取值區(qū)間，從圖中可以清晰地看到建模后預測值得取值范圍。
了解分位數(shù)損失函數(shù)
分位數(shù)回歸的目標在于估計給定預測值的條件分位數(shù)。實際上分位數(shù)回歸就是平均絕對誤差的一種拓展。分位數(shù)值得選擇在于我們是否希望讓正的或者負的誤差發(fā)揮更大的價值。損失函數(shù)會基于分位數(shù)γ對過擬合和欠擬合的施加不同的懲罰。例如選取γ為0.25時意味著將要懲罰更多的過擬合而盡量保持稍小于中值的預測值。
γ的取值通常在0-1之間，圖中描述了不同分位數(shù)下的損失函數(shù)情況，明顯可以看到對于正負誤差不平衡的狀態(tài)。
分位數(shù)損失(Y軸)與預測(X軸)的關(guān)系圖。
我們可以利用分位數(shù)損失函數(shù)來計算出神經(jīng)網(wǎng)絡或者樹狀模型的區(qū)間。下圖是計算出基于梯度提升樹回歸器的取值區(qū)間：
使用分位數(shù)損失的預測區(qū)間(梯度提升回歸器)
90%的預測值起上下邊界分別是用γ值為0.95和0.05計算得到的。
比較研究：
在文章的最后，我們利用sinc(x)模擬的數(shù)據(jù)來對不同損失函數(shù)的性能進行了比較。在原始數(shù)據(jù)的基礎上加入而高斯噪聲和脈沖噪聲(為了描述魯棒性)。下圖是GBM回歸器利用不同的損失函數(shù)得到的結(jié)果，其中ABCD圖分別是MSE, MAE, Huber, Quantile損失函數(shù)的結(jié)果：
將一個平滑的GBM擬合成有噪聲的sinc(x)數(shù)據(jù)的示例：(E)原始sinc(x)函數(shù);(F)符合MSE和MAE損失的平滑GBM;(G)平滑GBM，其具有Huber損耗，δ= {4,2,1};(H)光滑的GBM與α= {0.5,0.1,0.9}的分位數(shù)損失相符合。
我們可以看到MAE損失函數(shù)的預測值受到?jīng)_擊噪聲的影響更小，而MSE則有一定的偏差;Huber損失函數(shù)對于超參數(shù)的選取不敏感，同時分位數(shù)損失在對應的置信區(qū)間內(nèi)給出了較好的估計結(jié)果。
希望小伙伴們能從這篇文章中更深入地理解損失函數(shù)，并在未來的工作中選擇合適的函數(shù)來更好更快地完成工作任務。
將本文中幾種損失函數(shù)都放到一個圖中的結(jié)果：
文章原標題《5 Regression Loss Functions All Machine Learners Should Know》
作者簡介：Prince Grover，數(shù)據(jù)科學系學生，機器學習實習生和IIT畢業(yè)生，已經(jīng)為航空航天，石油和天然氣，汽車和房地產(chǎn)行業(yè)提供3年以上的端到端數(shù)據(jù)驅(qū)動產(chǎn)品�？释麑C器學習和深度學習技能應用于行業(yè)，解決令人興奮的新問題。
版權(quán)申明：本站文章部分自網(wǎng)絡，如有侵權(quán)，請聯(lián)系：west999com@outlook.com
特別注意：本站所有轉(zhuǎn)載文章言論不代表本站觀點！
本站所提供的圖片等素材，版權(quán)歸原作者所有，如需使用，請與原作者聯(lián)系。
