1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區(qū)間最值查詢，是指這樣一個(gè)問題：對(duì)于長度為n的數(shù)列A，回答若干詢問RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回?cái)?shù)列A中下標(biāo)在 i，j之間的最小/大值。這兩個(gè)問題是在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的問題，下面介紹一下解決這兩種問題的比較高效的算法。當(dāng)然，該問題也可以用線段樹（也叫區(qū)間樹）解決，算法復(fù)雜度為：O(N)~O(logN)，這里我們暫不介紹。

2.RMQ算法

對(duì)于該問題，最容易想到的解決方案是遍歷，復(fù)雜度是O(n)。但當(dāng)數(shù)據(jù)量非常大且查詢很頻繁時(shí)，該算法無法在有效的時(shí)間內(nèi)查詢出正解。

本節(jié)介紹了一種比較高效的在線算法（ST算法）解決這個(gè)問題。所謂在線算法，是指用戶每輸入一個(gè)查詢便馬上處理一個(gè)查詢。該算法一般用較長的時(shí)間做預(yù)處 理，待信息充足以后便可以用較少的時(shí)間回答每個(gè)查詢。ST（Sparse Table）算法是一個(gè)非常有名的在線處理RMQ問題的算法，它可以在O(nlogn)時(shí)間內(nèi)進(jìn)行預(yù)處理，然后在O(1)時(shí)間內(nèi)回答每個(gè)查詢。

（一）首先是預(yù)處理，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃（DP）解決。

設(shè)A[i]是要求區(qū)間最值的數(shù)列，F(xiàn)[i, j]表示從第i個(gè)數(shù)起連續(xù)2^j個(gè)數(shù)中的最大值。（DP的狀態(tài)）

例如：

A數(shù)列為：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1個(gè)數(shù)起，長度為2^0=1的最大值，其實(shí)就是3這個(gè)數(shù)。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F(xiàn)[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我們可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

這樣，DP的狀態(tài)、初值都已經(jīng)有了，剩下的就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

我們把F[i，j]平均分成兩段（因?yàn)閒[i，j]一定是偶數(shù)個(gè)數(shù)字），從 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1為一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1為一段(長度都為2 ^ (j - 1))。用上例說明，當(dāng)i=1，j=3時(shí)就是3,2,4,5 和 6,8,1,2這兩段。F[i，j]就是這兩段各自最大值中的最大值。于是我們得到了狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

代碼如下：

    void RMQ(int num) //預(yù)處理->O(nlogn)  
    {  
        for(int j = 1; j < 20; ++j)  
            for(int i = 1; i <= num; ++i)  
                if(i + (1 << j) - 1 <= num)  
                {  
                    maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  
                    minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  
                }  
    }  

這里我們需要注意的是循環(huán)的順序，我們發(fā)現(xiàn)外層是j，內(nèi)層所i，這是為什么呢？可以是i在外，j在內(nèi)嗎？

答案是不可以。因?yàn)槲覀冃枰�理解這個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的意義。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的含義是：先更新所有長度為F[i,0]即1個(gè)元素，然后通過2個(gè)1個(gè)元素的最值，獲得所有長度為F[i,1]即2個(gè)元素的最值，然后再通過2個(gè)2個(gè)元素的最值，獲得所有長度為F[i,2]即4個(gè)元素的最值，以此類推更新所有長度的最值。

而如果是i在外，j在內(nèi)的話，我們更新的順序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新從1開始1個(gè)元素，2個(gè)元素，4個(gè)元 素，8個(gè)元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，這里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我們根本沒有計(jì)算 max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以這樣的方法肯定是錯(cuò)誤的。

為了避免這樣的錯(cuò)誤，一定要好好理解這個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程所代表的含義。

（二）然后是查詢。

假如我們需要查詢的區(qū)間為(i,j)，那么我們需要找到覆蓋這個(gè)閉區(qū)間(左邊界取i，右邊界取j)的最小冪（可以重復(fù)，比如查詢5，6，7，8，9，我們可以查詢5678和6789）。

因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間的長度為j - i + 1,所以我們可以取k=log2( j - i + 1)，則有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

舉例說明，要求區(qū)間[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F(xiàn)[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F(xiàn)[5, 2])；

在這里我們也需要注意一個(gè)地方，就是<<運(yùn)算符和+-運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)。

比如這個(gè)表達(dá)式：5 - 1 << 2是多少？

答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我們要寫成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

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